Александр, добрый день!
Для того чтобы задача была доступна только «Кому назначена» необходимо настроить права доступа к формам просмотра и редактирования задачи в меню пункта DocTrix: Управление доступом, к редактированию полей задачи в меню пункта DocTrix: Управление отображений полей, а также для кнопки «Завершить» в меню пункта DocTrix: Управление кнопок. Все настройки необходимо производить на списке задач (тип DocTrix: Задача) для необходимого типа контента.